C7.3 : Représentation des entiers relatifs

Activité sans ordinateur et sans calculatrice

Prendre connaissance

Exemple avec 4 bits

Avec 4 bits, on dispose de \(2^4 = 16\) valeurs.

On choisit de représenter les entiers relatifs de \(-8\) à \(7\).

Obtenir le complément à 2 d'un nombre binaire

Méthode générale de l'encodage en complément à 2 avec \(n\) bits

• Avec \(n\) bits on dispose de \(2^n\) combinaisons. On choisit de représenter les entiers relatifs de \(-2^{n-1}\) à \(2^{n-1}-1\).

• Passage du nombre entier relatif à la représentation :

Méthode :

• ➩ Si le nombre est positif, alors il faut le convertir en base 2.
• ➩ Si le nombre est négatif, alors il faut prendre sa valeur absolue, puis passer en base 2, puis prendre le complément à 2.

Schéma de la méthode :

Remarque :

• Le bit de poids fort de la représentation d'un entier positif est toujours 0, alors que celui d'un nombre entier négatif est toujours 1.

• Passage de la représentation au nombrer entier relatif :

Méthode :

• ➩ Si le bit de poids fort de la représentation est 0, alors le nombre est la valeur décimale de la représentation.
• ➩ Si le bit de poids fort de la représentation est 1, alors il faut prendre le complément à 2, puis passer en base 10, puis multiplier par \(-1\).

Schéma de la méthode :

Remarques

La représentation des nombres entiers relatifs présentée ci-dessus et utilisée en informatique permet :

• - de n'avoir qu'une seule représentation pour le nombre 0 ;
• - de conserver l'addition des nombres.

Applications pour bien comprendre

Dans toutes cette partie, on travaillera sur 8 bits.

1) Combien d'entiers relatifs peut-on représenter ? En donner la liste ?

2) Donner les représentations binaires en complément à 2 des nombres 125 et -125.

3) Donner les valeurs décimales des nombres dont les représentations binaires en complément à 2 sont les suivants :

• a/ 1111 1111
• b/ 0000 0000
• c/ 1001 1001
• d/ 0110 0111

4) On s'intéresse au nombre relatif dont la représentation binaire en complément à 2 est 1010 0101

• a/ Ce nombre est-il positif ou négatif ?
• b/ Donner la représentation binaire de l'opposé de ce nombre.

Additionner des entiers relatifs

Dans toutes cette partie, on travaillera sur 6 bits.

1) Combien d'entiers relatifs peut-on représenter ? En donner la liste ?

2) Donner la représentation binaire en complément à 2 des entiers relatifs -18 et -12.

3) A l'aide d'une addition en binaire, trouver la représentation binaire en complément à 2 de la somme de -18 et -12.

4) Cette addition est-elle correcte (détailler la démarche).

Outils

L'outils en ligne suivant permet de connaitre les différentes valeurs possibles correspondant à un représentation machine et inversement : hexed.it