Outils : Décimal, binaire...

Compter dans les différentes bases

Base 10
Décimal		 Base 2
Binaire		 Base 3 Base 5 Base 8 Base 16
Hexadécimal
1 1 1 1 1 1
2 10 2 2 2 2
3 101 10 3 3 3
4 100 11 4 4 4
5 101 12 10 5 5
6 110 20 11 6 6
7 111 21 12 7 7
8 1000 22 13 10 8
9 1001 100 14 11 9
10 1010 101 20 12 A
11 1011 102 21 13 B
12 1100 110 22 14 C
13 1101 111 23 15 D
14 1110 112 24 16 E
15 1111 120 30 17 F
16 10000 121 31 20 10
17 10001 122 32 21 11
...
25 11001 221 100 31 19
26 11010 222 101 32 1A
...
31 11111 1011 111 37 1F
32 100000 1012 112 40 20
...

Valeur en base 10 d'un nombre écrit en base k

Principe général

Nombre en base \(k\) : \((a_n…a_3\ a_2\ a_1\ a_0)_k\)

Calcul de la valeur en base 10 : \(a_n×k^n+…+a_3×k^3+a_2×k^2+a_1×k^1+a_0×k^0\)

Exemples

\(\begin{aligned}[t] (4301)_5 &= (4×5^3+3×5^2+0×5^1+1×5^0)_{10} \\ &= (576)_{10} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}[t] (493)_{10} &= (4×10^2+9×10^1+3×10^0)_{10} \\ &= (493)_{10} \end{aligned}\)

Écriture en base k d'un nombre dont on connaît la valeur en base 10

Méthode des divisions successives

Principe général

On pose les divisions successives du nombre par k jusqu'à obtenir un quotient égal à 0.

L'écriture en base k s'obtient avec les restes, en commençant par le dernier.

Exemple

Cherchons l'écriture de \((89)_{10}\) en base 2.

\((89)_{10} = (1011001)_{2}\)

Méthode des soustractions successives

Principe général

On détermine la plus grande puissance de k inférieure au nombre.

On soustrait successivement les puissances de k dans l'ordre décroissant en écrivant 1 lorsque la soustraction est possible ou 0 lorsqu'elle n'est pas possible.

Exemple

Cherchons l'écriture de \((89)_{10}\) en base 2.

Puissances de deux : \(2^0 = 0\), \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\), \(2^7 = 128\).

La plus grande puissance de 2 inférieur à 89 est \(2^6\).

Valeur Puissance à soustraire Résultat Valeur binaire
89 \(2^6 = 64\) 25 1
25 \(2^5 = 32\) Impossible 0
25 \(2^4 = 16\) 9 1
9 \(2^3 = 8\) 1 1
1 \(2^2 = 4\) Impossible 0
1 \(2^1 = 2\) Impossible 0
1 \(2^0 = 1\) 0 1

\((89)_{10} = (1011001)_{2}\)